Daily Archives: Sabtu, 1 September 2007

Menghitung Investasi, yuk! (bag. II)

Posted on Sabtu, 1 September 2007 | 9 komentar

Ok, mari kita lanjutkan masalah hitung-menghitung bunga investasi. Di dalam bagian ini saya akan menjabarkan mengenai bunga efektif, serta waktu penggandaan (doubling and multiplying times) serta hukum 70 (The Law of 70). Ok, kita mulai aja dengan membahas bunga efektif yuk!

BUNGA EFEKTIF

Bunga efektif ini terjadi karena adanya sistem bunga majemuk yang saya paparkan di postingan bagian pertama. Ok, tanpa bertele-tele langsung saja kita lihat contoh berikut. Misalkan $100 diinvestasikan selama 1 tahun dengan bunga 10% per tahun. Untuk itu mari kita lihat tabel berikut ini:

Bunga Dibayar m kali Saldo Akhir Setelah Setahun Bunga Yang Didapat Tingkat Bunga Efektif
1 110 10 10%
2 110,25 10,25 10,25%
4 110,38 10,38 10,38%
12 110,47 10,47 10,47%
52 110,51 10,51 10,51%
365 110,52 10,52 10,52%

Di sini kita melihat bahwa, tarif bunga 10% per tahun yang ditetapkan oleh bank adalah tarif bunga nominal, sedangkan tarif bunga efektif adalah tarif bunga berdasarkan jumlah bunga yang kita terima di akhir tahun (periode). Kita melihat andaikan bunga dibayarkan sekali, maka tarif nominalnya sama dengan tarif (bunga) efektifnya (10%). Sedangkan Jikalau bunga dibayarkan dua kali (setiap enam bulan) maka tarif efektifnya adalah 10,25%. Begitu pula selanjutnya, di sini kita melihat bahwa semakin sering bunga dibayar semakin besar tarif bunga efektifnya, namun marginnya semakin kecil.

Sebenarnya tarif bunga efektif seperti di atas dapat dicari lewat penurunan rumus berikut ini:

P\times\:(1+r_e)^{t}\:=\:P\times\:(1+\frac{r}{m})^{m\times\:t}

P dan t dapat dicoret dari ruas kiri dan kanan, menjadi:

1+r_e\:=\:(1+\frac{r}{m})^{m}

maka rumus akhir untuk mencari tarif bunga efektif adalah:

r_e\:=\:(1+\frac{r}{m})^{m}\:-1

r_e adalah tarif bunga efektif, r adalah tarif bunga pertahun sedangkan m adalah berapa kali pembayaran bunga per tahun. Maka menurut rumus yang di’stabilo’ merah muda di atas, tarif bunga efektifnya adalah:

r_e\:=\:(1+\frac{0,1}{12})^{12}\:-\:1 = 0,1047 atau 10,47%

Sebagai contoh kita ambil salah satu kasus dari tabel di atas yaitu yang pembayaran bunganya sebanyak 12 kali dalam setahun.

Untuk tarif bunga efektif yang bunganya dibayarkan terus menerus (yang tentu saja hanya teoritis), maka (1+\frac{r}{m})^{m} dari rumus di atas diganti dengan e^{r}  (dengan e sebesar 2,7182), menjadikan rumus akhirnya adalah:

r_e\:=\:e^{r}\:-1

Ok, silahkan anda mencobanya sendiri menggunakan rumus di atas untuk mencari tarif bunga efektif untuk masing-masing plan pembayaran bunga seperti tabel di atas.

Waktu Penggandaan (Doubling Time and Multiplying Time)

Biasanya dalam kita memilih investasi, fokus utamanya selain amannya investasi tersebut juga seberapa besar return yang kita dapat pada investasi tersebut. OK lah, sekarang mari kita fokus pada return yang akan kita dapat saja, andaikan kita dihadapkan pada investasi yang menghasilkan bunga 6% dan 10% tentu semua juga bisa melihat bahwa investasi yang 10% lebih menghasilkan atau ‘menguntungkan’. Namun sekarang kalau kita ingin menganalisis secara sederhana seberapa besar sih sebenarnya return dari bunga 6% itu, atau 10% itu maka Waktu Penggandaan atau Doubling Time dapat menggambarkan secara psikologis seberapa besar sebuah return tersebut. Doubling Time adalah lamanya waktu yang diperlukan bagi sebuah investasi untuk mencapai jumlah dua kali lipat dari investasi awal kita. Misalnya kita berinvestasi sebesar $5.000 dengan bunga sebesar 6% per tahun, maka doubling time adalah berapa waktu atau tahun yang diperlukan bagi investasi kita untuk mencapai $10.000. Selain doubling time tentu saja ada tripling time yaitu waktu yang diperlukan untuk investasi kita agar berlipat tiga. Juga ada quadrupling time, quintupling time, dsb. Namun yang paling penting adalah doubling time. Doubling time ini dan juga multiplying time yang lain, tidak tergantung dari jumlah uang yang diinvestasikan tapi semata-mata hanya berpengaruh besar pada bunga yang ditawarkan investasi tersebut. Sedangkan jumlah berapa kali bunga dibayar selama setahun oleh bank juga mempengaruhi doubling time ini walaupun tidak begitu signifikan. Mari kita ambil contoh di atas, maka menghitung doubling time-nya adalah sebagai berikut (misalkan bunga dibayarkan perbulan oleh bank):

A\:=\:P(1\:+\:\frac{0,06}{12})^{12t}

maka agar investasi menjadi dua kali lipat tentu A = 2P,

2P\:=\:P(1\:+\:\frac{0,06}{12})^{12t}

2\:=\:(1\:+\:0,005)^{12t}

ln(2)\:=\:12\times\:t\times\:ln(1,005)

0,69\:=\:12\times\:t\times\:0,00499

t = 11,53 tahun

Kalau misalnya cara tersebut terlalu panjang, ada rumus yang lebih praktis dengan tentu saja memakai kalkulator. Rumus ini persis sama 100% dengan langkah-langkah di atas, hanya sudah ‘diperingkas’ menjadi sebuah rumus saja:

doubling time = \frac{ln(2)}{m\times\:ln(1+\frac{r}{m})}

(tentu r adalah tingkat bunga pertahun dan m adalah jumlah berapa kali bunga dibayar dalam setahun)

Jikalau dengan memakai rumus tersebut hasil yang didapat adalah 11,58 tahun. Perbedaan sebesar 0,05 tahun atau sebesar 18 hari adalah akibat faktor pembulatan pada metode perhitungan di atas. Namun perbedaan 18 hari dalam 11,58 tahun tidak menjadi masalah karena doubling time ini hanya untuk perkiraan saja dan tidak ada hubungannya dengan keuntungan atau kerugian ekonomis secara langsung. Sebenarnya ada lagi rumus yang lebih singkat berdasarkan asumsi bahwa bunga dibayarkan terus menerus (kontinu). Walaupun tentu saja terdapat deviasi dengan hasil rumus di atas, namun rumus ini cukup representatif dalam memperkirakan doubling time:

doubling time = \frac{ln(2)}{r} . Hasilnya silahkan anda coba.

Untuk tripling time, quadrupling time, dan sebagainya cukup menggantikan ln(2), dengan ln(3), ln(4), dan sebagainya.

Hukum 70 (The Law of 70)

Hukum 70 ini sebenarnya adalah juga untuk memperkirakan doubling time, namun caranya praktis sekali dan cukup menggunakan kalkulator sayur! (Tidak perlu kalkulator saintifik yang ada natural logarithm-nya). Rumus sederhana yang kreatif ini adalah sebagai berikut (yang sebenarnya adalah modifikasi dari rumus \frac{ln(2)}{r} di atas:

doubling time = \frac{70}{i} , dengan i adalah tingkat bunga pertahun dalam persen (bukan dalam desimal!). Ide dari Hukum 70 ini sangat sederhana, yaitu berangkat dari fakta bahwa ln(2) = 0,6913 atau dibulatkan menjadi 0,70. Lalu 0,70 ini dikalikan dengan 100% yang menghasilkan 70% tentu saja. Jadi kita coba saja dengan contoh yang sudah ada (70% dibagi dengan 6%/tahun):

doubling time = \frac{70}{6} = 11,66 tahun, cukup representatif untuk memperkirakan doubling time dan lebih mudah bukan? Untuk tripling time cukup mengganti angka 70 dengan angka 110, karena ln(3) = 1,0986 dan kalau dikalikan 100% maka akan dibulatkan menjadi 110%. Tapi untuk itu namanya harus diganti dari Hukum 70 (The Law of 70) menjadi Hukum 110 (The Law of 110), agar sesuai dengan namanya! Hehehe….. Untuk quadrupling time dan seterusnya silahkan berkreatif ria sendiri! 😀

9 Komentar

Dipublikasi di Manajemen/Bisnis